Que dit intuitivement le théorème du disque de Gershgorin?

De l’article lié par Deepti, j’ai trouvé une section utile qui m’a plu:

Une façon d’interpréter ce théorème est que si les entrées hors diagonale d’une matrice carrée sur les nombres complexes ont de petites normes, les valeurs propres de la matrice ne peuvent pas être “loin” des entrées diagonales de la matrice. Par conséquent, en réduisant les normes des entrées hors diagonale, on peut tenter d’approximer les valeurs propres de la matrice. Bien sûr, les entrées diagonales peuvent changer dans le processus de minimisation des entrées hors diagonale.

Théorème du cercle de Gershgorin

(à mon avis) une équation clé de la preuve du théorème est:

[math] \ sum_ {j \ neq i} M_ {ij} x_j = \ lambda x_i – M_ {ii} x_i [/ ​​math]

ce qui conduit à (par inégalité triangulaire, divisée par [math] x_i [/ ​​math] et délimitant [math] \ frac {x_j} {x_i} [/ math]):

[math] | \ lambda – M_ {ii} | \ leq \ sum_ {j \ neq i} | M_ {ij} | [/math]

En gardant ces équations à l’esprit, ce paragraphe devient plus utile.

Le théorème du disque de Gershgorin (GDT) dit que chaque valeur propre d’une matrice carrée se trouve dans un disque centré sur l’un des éléments diagonaux et avec un rayon dépendant des éléments non diagonaux de la même ligne.

Intuitivement, cela a du sens pour moi lorsque je considère les cas suivants:
+ Une matrice diagonale: comme nous le savons, les valeurs propres sont exactement les éléments diagonaux. Ils sont dans des disques de rayon 0, centrés sur les éléments diagonaux. Jusqu’ici tout va bien.
+ Une matrice avec des éléments non diagonaux arbitrairement petits: les valeurs propres doivent être très proches des éléments diagonaux, par continuité de l’équation caractéristique avec les éléments matriciels. C’est cohérent avec GDT.
+ Une matrice avec des éléments non diagonaux de n’importe quelle taille: les valeurs propres pourraient être plus éloignées, selon “la non-diagonale” de la matrice, c’est-à-dire les valeurs absolues des éléments non diagonaux. C’est également compatible avec GDT.

De plus, la preuve sur cette page l’a rendu plus clair: http://en.m.wikipedia.org/wiki/G…

Le théorème permet de localiser les valeurs propres des matrices, ce qui est utile pour l’analyse numérique et d’autres questions. Si wikipedia ne vous suffit pas, vous avez tout un livre: Geršgorin et ses cercles.